Dadas a circunferência \(λ:(x-5)^2+(y-4)^2=16\) e a reta \(r:{\large{x \over 8}}- {\large{y \over 6}}=1\), o ponto de r que está mais próximo de \(λ\) tem abscissa igual a:

Gabarito

D

Comentário do professor

O ponto de \(r\) mais próximo da circunferência é também o ponto de \(r\) mais próximo do centro da circunferência \(C=(5,4)\).

Escrevendo \(r\) em forma reduzida obtemos \(y=\tfrac{3x}{4}-6\), logo o coeficiente angular de \(r\) é \(m_r=\tfrac{3}{4}\). A reta que une \(C\) ao ponto mais próximo deve ser perpendicular a \(r\), portanto tem coeficiente \(m_s=-\tfrac{4}{3}\) e passa por \(C\): \(y-4=-\tfrac{4}{3}(x-5)\), ou \(y=-\tfrac{4x}{3}+\tfrac{32}{3}\).

Igualando as duas retas para obter a interseção: \(\tfrac{3x}{4}-6=-\tfrac{4x}{3}+\tfrac{32}{3}\). Resolvendo, chega-se a \(25x/12=50/3\), portanto \(x=8\).

Logo, a abscissa do ponto de \(r\) mais próximo da circunferência é \(8\).