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Questão FC235828

Sendo u, v e w vetores não nulos de \(\mathbb{R}^3\) e u x v o produto vetorial de u por v, considere as declarações a seguir. I - Se u x w = u x v então w = v II - Se u x v = 0 en

Geometria Analítica

CESGRANRIO · 2011

Sendo u, v e w vetores não nulos de \(\mathbb{R}^3\) e u x v o produto vetorial de u por v, considere as declarações a seguir.

 

I - Se u x w = u x v então w = v

II - Se u x v = 0 então u = kv para algum k real

III - Se (u x v) x w = 0 então u x v = 0

 

Está correto APENAS o que se declara em

  1. I.
  2. II.
  3. III.
  4. I e II.
  5. I e III.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Partindo de \(u\times v=0\), temos \(|u\times v|=|u|\,|v|\,\sin\theta=0\), onde \(\theta\) é o ângulo entre os vetores.

Como \(u\) e \(v\) são não nulos, segue que \(\sin\theta=0\), ou seja, \(\theta=0\) ou \(\theta=\pi\). Isso significa que os vetores são colineares (têm a mesma ou a oposta direção).

Vetores colineares são múltiplos escalares entre si: existe \(k\in\mathbb{R}\) tal que \(u=k\,v\). Note que \(k\) pode ser positivo (mesma direção) ou negativo (direções opostas).

Portanto, a declaração é verdadeira: se \(u\times v=0\) então \(u\) é múltiplo escalar de \(v\), i.e., \(u=kv\) para algum real \(k\).

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