Questão FC235833
Em um videogame, toda vez que um pinguim avista um tesouro, ele se aproxima do mesmo de um modo peculiar. O jogo ocorre sobre um terreno plano, e a aproximação ao ponto sobre o qua
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2011
Em um videogame, toda vez que um pinguim avista um tesouro, ele se aproxima do mesmo de um modo peculiar. O jogo ocorre sobre um terreno plano, e a aproximação ao ponto sobre o qual está o tesouro se dá de acordo com o seguinte padrão: a partir de um ponto inicial, que consideraremos ser o ponto de coordenadas (0,0), o pinguim anda 60 metros para leste, 30 metros para norte, 15 metros para oeste, 7,5 metros para sul e assim por diante, sempre percorrendo, em cada etapa, um comprimento igual à metade do comprimento que percorreu na etapa anterior, seguindo a sequência leste, norte, oeste, sul, leste, norte, oeste, sul, etc.
Se, na situação apresentada, o pinguim mantiver o padrão de sua caminhada infinitamente, então, quanto mais ele andar, mais ficará próximo do tesouro, que está representado pelo ponto cujas coordenadas são
- (120,60)
- (80,40)
- (48,24)
- (40,20)
- (30,15)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Começamos no ponto \((0,0)\). As projeções do movimento em cada eixo formam somas infinitas porque os deslocamentos caem pela metade e alternam sentido a cada passagem.
Na direção horizontal (leste positivo), os termos são \(+60,\,-15,\,+3{,}75,\ldots\), uma PG geométrica com primeiro termo \(a_1=60\) e razão \(q=-\tfrac14\).
A soma da PG infinita é \(S_h=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{60}{1-(-\tfrac14)}=\dfrac{60}{5/4}=48\).
Na direção vertical (norte positivo), os termos são \(+30,\,-7{,}5,\,+1{,}875,\ldots\), também uma PG com \(a_1=30\) e \(q=-\tfrac14\).
Logo \(S_v=\dfrac{30}{1-(-\tfrac14)}=\dfrac{30}{5/4}=24\).
Portanto, o tesouro está no ponto \((\;48,\;24\;)\).
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