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Questão FC235834

A fim de confirmar que a solução que havia encontrado para um problema de matemática estava correta, um aluno deparou-se, no gabarito proposto para o problema em seu livro didático

Geometria Analítica

CESGRANRIO · 2011

 

A fim de confirmar que a solução que havia encontrado para um problema de matemática estava correta, um aluno deparou-se, no gabarito proposto para o problema em seu livro didático, com a figura acima.

 

No problema, era solicitado o ângulo que uma determinada reta fazia com o eixo das abcissas. A reta em questão era definida por dois pontos distintos, P1(x1, y1) e P2 (x2 , y2), cujas coordenadas x1, y1, x2 e y2 eram números inteiros dados.

 

Diante do colocado, o aluno deve concluir que o gabarito

  1. está errado, pois a origem é o único ponto com coordenadas inteiras que pertence à reta.
  2. está certo, pois, em princípio, o ângulo é um número inteiro.
  3. só poderia estar certo se as coordenadas dos dois pontos distintos, x1, y1, x2 e y2, fossem racionais.
  4. pode estar certo, mas não há como ter certeza, uma vez que os pontos P1 e P2 não aparecem na figura.
  5. pode estar correto, uma vez que o cosseno de 120º é um número racional.
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Gabarito

A

Comentário do professor

A conclusão está correta: o gabarito está errado porque, pela figura, a origem é o único ponto da reta com coordenadas inteiras, o que entra em contradição com a hipótese de que existem dois pontos distintos \(P_1(x_1,y_1)\) e \(P_2(x_2,y_2)\) com coordenadas inteiras pertencentes àquela reta.

De forma rigorosa, se dois pontos inteiros pertencem a uma reta, o vetor diretor \((\Delta x,\Delta y)=(x_2-x_1,y_2-y_1)\) tem coordenadas inteiras. Seja \(d=\gcd(\Delta x,\Delta y)\) e \((\Delta x',\Delta y')=(\Delta x/d,\Delta y/d)\). Então todos os pontos inteiros da reta são da forma \(P_1+k(\Delta x',\Delta y')\), \(k\in\mathbb{Z}\), isto é, existem outros pontos de coordenadas inteiras além da origem. Como a figura mostra apenas a origem como ponto inteiro, o gabarito está equivocado.

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