Se o ângulo \(A\hat{O}B = x \in \Bigl ( {\large{\pi \over 2}}, \pi \Bigr )\) e a reta definida pelos pontos B e C é paralela ao eixo das abcissas, qual é o comprimento do segmento

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Seja y = BC. Como a reta BC é paralela ao eixo das abcissas e C = (0,3), o segmento OC é vertical com comprimento 3 e o triângulo OCB é retângulo em C.

Observe que o ângulo formado por OB e a semi‑reta negativa do eixo x é \(180^\circ-x\); esse é justamente o ângulo no vértice B do triângulo OCB. Assim

\(\tan(180^\circ-x)=\dfrac{OC}{BC}=\dfrac{3}{y}.\)

Como \(\tan(180^\circ-x)=-\tan x\), segue \(-\tan x=\dfrac{3}{y}\), logo

\(y=-\dfrac{3}{\tan x}.\)

Note que, para \(x\in\big(\tfrac{\pi}{2},\pi\big)\), \(\tan x<0\), portanto \(y>0\), como esperado para um comprimento.