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Questão FC235837

Um quadrado ABCD, de diagonais AC e BD, tem o lado BC sobre a reta de equação \(x + 2y = 4\) e o vértice A com coordenadas (5; 4). As coordenadas do vértice B são

Geometria Analítica

CESGRANRIO · 2010

Um quadrado ABCD, de diagonais AC e BD, tem o lado BC sobre a reta de equação \(x + 2y = 4\) e o vértice A com coordenadas (5; 4). As coordenadas do vértice B são

  1.  \((2,1)\)
  2.  \(\left( {\large{16 \over 5}}, {\large{2 \over 5}} \right)\)
  3.  \(\left( {\large{7 \over 2}}, {\large{1 \over 4}} \right)\)
  4.  \(\left( {\large{8 \over 3}}, {\large{2 \over 3}} \right)\)
  5.  \(\left(3, {\large{1 \over 2}} \right)\)
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Gabarito

B

Comentário do professor

O lado BC está sobre a reta \(x+2y=4\). Como em um quadrado os lados são perpendiculares, o segmento \(AB\) que passa por A é perpendicular a essa reta; portanto, B é a interseção entre a reta dada e a reta perpendicular a ela que passa por A(5,4).

Reescrevendo \(x+2y=4\) temos \(y=-\tfrac{1}{2}x+2\), cujo coeficiente angular é \(-\tfrac{1}{2}\). O coeficiente de uma reta perpendicular é o oposto recíproco, ou seja \(2\).

A equação da reta perpendicular por A: \(y-4=2(x-5)\), logo \(y=2x-6\). Fazendo a interseção com \(y=-\tfrac{1}{2}x+2\):

\(-\tfrac{1}{2}x+2=2x-6\) ⇒ \(5x=16\) ⇒ \(x=\tfrac{16}{5}\). Substituindo em \(y=2x-6\) obtém-se \(y=\tfrac{2}{5}\).

Assim, as coordenadas do vértice B são \(\left(\tfrac{16}{5},\tfrac{2}{5}\right)\).

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