Dado um operador linear \(TA:R^2 \to R^2\), tal que \(A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\), então seus autovetores são

Gabarito

A

Comentário do professor

Calcule os autovalores resolvendo \(det(A-\lambda I)=0\). Com \(A=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}\) temos \(det\begin{pmatrix}1-\lambda&1\\0&2-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(2-\lambda)=0\), logo \(\lambda_1=1\) e \(\lambda_2=2\).

Para \(\lambda=1\) resolva \(A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y\\2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\). Isso dá \(x+y=x\) e \(2y=y\), portanto \(y=0\). Assim os autovetores associados são \((x,0)\) com \(x\neq0\).

Para \(\lambda=2\) exigimos \(\begin{pmatrix}x+y\\2y\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), levando a \(x+y=2x\) e \(y=x\). Logo os autovetores são \((x,x)\) com \(x\neq0\).

Portanto \(T(x,0)=1(x,0)\) e \(T(x,x)=2(x,x)\), \(x\neq0\), confirmando a alternativa correta.