Os pontos (4,0,0), (0,-6,0) e (0,0,-4) pertencem ao plano \(\pi\), cuja posição relativa à superfície esférica S de equação \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9\) é

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Determinando a equação do plano a partir dos três pontos, obtém‑se normal \(\vec n=(3,-2,-3)\) e, usando \((4,0,0)\), a equação \(3x-2y-3z-12=0\).

Da esfera, o centro é \(C=(1,2,3)\) e o raio \(r=3\). A distância do centro ao plano é \(d=\dfrac{|3\cdot1-2\cdot2-3\cdot3-12|}{\sqrt{3^2+(-2)^2+(-3)^2}}=\dfrac{22}{\sqrt{22}}=\sqrt{22}.\)

Como \(\sqrt{22}>3\), o plano está externo à superfície esférica \(S\) (a distância centro‑plano excede o raio).

Calculando a distância de \(C\) ao ponto \(A=(4,0,0)\) temos \(\sqrt{(4-1)^2+(0-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{22}\), igual a \(d\). Portanto \(A\) é o ponto de \(\pi\) mais próximo do centro e, por consequência, o ponto de \(\pi\) mais próximo à superfície \(S\): (4,0,0).