A curva definida por \(y={\large{3 \over 8}}x^2\) é tangenciada no ponto de abscissa 1 por uma reta, cuja distância até o centro da circunferência de equação \((x-1/2)^2 + (y - 5)^

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para encontrar a distância solicitada calcule a derivada da curva \(y=\tfrac{3}{8}x^2\): \(y'=\tfrac{3}{4}x\). Assim, a inclinação da reta tangente em \(x=1\) é \(m=\tfrac{3}{4}\).

O ponto de tangência é \((1,y(1))=(1,\tfrac{3}{8})\). A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é \(y-\tfrac{3}{8}=\tfrac{3}{4}(x-1)\).

Multiplicando por 8 e rearranjando obtemos a forma geral: \(6x-8y-3=0\).

O centro da circunferência dada é \(C=(\tfrac{1}{2},5)\). Use a fórmula da distância ponto‑reta: \(d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).

Substituindo \(A=6,B=-8,C=-3\) e \(x_0=\tfrac{1}{2},y_0=5\) vem \(d=\dfrac{|6(\tfrac{1}{2})-8\cdot5-3|}{\sqrt{36+64}}=\dfrac{40}{10}=4\).