A área da região formada pela intersecção das regiões R1: x2 + (y − 3)2 \(\le\) 4 e R2: x − y + 1 \(\ge\) 0 é igual a

Gabarito

A

Comentário do professor

Temos um círculo dado por \(x^2+(y-3)^2\le 4\) (centro \((0,3)\), raio \(r=2\)) e a reta \(x-y+1=0\) que define a meia-plano \(x-y+1\ge 0\).

Calcule a distância do centro à reta: \(d=\dfrac{|0-3+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\). Como \(d

O meio-ângulo correspondente satisfaz \(\cos\phi=d/r=\sqrt2/2\), logo \(\phi=\pi/4\) e o ângulo central do segmento é \(\theta=2\phi=\pi/2\).

A área do segmento circular oposto ao centro é \(A=\dfrac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)=\dfrac{4}{2}\!\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)=\pi-2\).