Considere o triângulo equilátero de vértices \(A:(-1,0)\), \(B:(1,0)\) e \(C:(0,0\sqrt3)\). A equação da circunferência inscrita nesse triângulo é

Gabarito

A

Comentário do professor

Num triângulo equilátero o incentro coincide com o baricentro, portanto o centro da circunferência inscrita tem coordenadas \(x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\) e \(y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\).

Substituindo \(A(-1,0),\,B(1,0),\,C(0,\sqrt3)\) obtemos \(G\big(0,\tfrac{\sqrt3}{3}\big)\), que é o centro buscado.

A altura do triângulo de lado \(AB=2\) vale \(h=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2=\sqrt3\). O raio da inscrita é \(r=\frac{h}{3}=\frac{\sqrt3}{3}\).

Usando a equação \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) com \(a=0,\;b=\tfrac{\sqrt3}{3}\) e \(r=\tfrac{\sqrt3}{3}\) temos \((x)^2+\left(y-\tfrac{\sqrt3}{3}\right)^2=\left(\tfrac{\sqrt3}{3}\right)^2\).

Ao expandir e simplificar surge \(x^2+y^2-\dfrac{2\sqrt3}{3}y=0\), que multiplicada por 3 fornece \(3x^2+3y^2-2\sqrt3\,y=0\).