Questão FC235850
A figura abaixo mostra uma região do plano cartesiano, sobre o qual está disposta uma reta que passa pela origem e faz um ângulo de 60º com o eixo das abscissas. A malha quadricula
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2010
A figura abaixo mostra uma região do plano cartesiano, sobre o qual está disposta uma reta que passa pela origem e faz um ângulo de 60º com o eixo das abscissas. A malha quadriculada exibida indica os pontos do plano que possuem abscissa ou ordenada inteiras, ou seja, os vértices dos quadrados que compõem a malha são aqueles pontos x,y do plano cartesiano que possuem coordenadas x e y inteiras.
Ao considerarmos a reta em toda sua extensão no plano cartesiano, é correto afirmar que
- a origem é o único ponto desta reta que é vértice de algum quadrado da malha.
- a ela pertencem infinitos pontos que são vértices de quadrados da malha.
- se o ângulo dado fosse igual a 30º, a reta passaria por uma infinidade de vértices de quadrados da malha.
- se o ângulo dado fosse igual a 45º, todos os pontos pertencentes à reta possuiriam coordenadas inteiras.
- independentemente do valor do ângulo dado, a reta sempre passará por uma infinidade de vértices de quadrados da malha.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
A
Comentário do professor
A reta passa pela origem e faz ângulo de 60° com o eixo x, logo sua inclinação (coeficiente angular) é \(m=\tan 60^\circ=\sqrt{3}\).
Os vértices da malha são pontos com coordenadas inteiras. Uma reta que passa pela origem tem equação \(y=mx\). Para existir um ponto distinto da origem com coordenadas inteiras precisamos de inteiros \(x\) e \(y\) tais que \(\dfrac{y}{x}=m\).
Como \(m=\sqrt{3}\) é um número irracional, não pode ser expresso como razão de inteiros. Portanto não existem inteiros \(x\neq0\) e \(y\) satisfazendo \(\dfrac{y}{x}=\sqrt{3}\).
Concluímos que a origem é o único vértice da malha que pertence a essa reta.
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Geometria Plana: Trigonometria no Triângulo RetânguloConteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em