Questão FC235851
Considere o ponto C1,0 e um ângulo \(θ\) representado no círculo trigonométrico tal que \(C \widehat{O}A= θ ≠ k. {\large{\pi \over 2}}\), \(∀ k ∈ \mathbb{Z}\). Seja r a reta tangen
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2010
Considere o ponto C1,0 e um ângulo \(θ\) representado no círculo trigonométrico tal que
\(C \widehat{O}A= θ ≠ k. {\large{\pi \over 2}}\), \(∀ k ∈ \mathbb{Z}\). Seja r a reta tangente à circunferência no ponto \(A( \cos θ, \sin θ )\) e considere B o ponto de interseção da reta r com o eixo das abscissas. A figura abaixo ilustra um caso particular em que o ângulo \(θ\) foi dado no primeiro quadrante.
Como cada ângulo \(θ\) no domínio considerado determina unicamente o comprimento \(\overline{OB}\), dizemos que este comprimento é uma função de \(θ\). Chamando tal função de \(f(θ )\), pode-se explicitamente representá-la por
- \(f(θ)= \left\vert \sec θ \right\vert\)
- \(f(θ)= \left\vert cot g θ \right\vert\)
- \(f(θ)= \left\vert cosec θ \right\vert\)
- \(f(θ)= \left\vert \tan θ \right\vert\)
- \(f(θ) =1+{\large{\sin θ \over 2}}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
No círculo trigonométrico, o ponto \(A(\cos\theta,\sin\theta)\) e a reta tangente em A são perpendiculares ao raio \(OA\). Assim, a inclinação da tangente é \(m=-\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\) (para \(\sin\theta\neq0\)).
Equação da tangente: \(y-\sin\theta=m(x-\cos\theta)\). Para obter a interseção com o eixo das abscissas, tome \(y=0\) e resolva:
\(-\sin\theta=m(x_B-\cos\theta)\). Substituindo \(m\) e isolando \(x_B\) vem \(x_B=\dfrac{1}{\cos\theta}\).
Como \(OB\) é um comprimento, \(f(\theta)=|x_B|=\left\vert\dfrac{1}{\cos\theta}\right\vert\). Logo, \(f(\theta)=\left\vert\sec\theta\right\vert\), com \(\theta\) tal que \(\cos\theta\neq0\).
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