Para quantos valores inteiros de C existe um vetor não nulo v ∈ R3 com |Mv| = C|v|?

Gabarito

B

Comentário do professor

Calcule Mv para um vetor v = (x,y,z)^T: \(Mv=(x,\;x+y,\;x+y+z)^T\).

As normas satisfazem \( |Mv|=\sqrt{x^2+(x+y)^2+(x+y+z)^2}\) e \( |v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Igualando e elevando ao quadrado obtemos

\(x^2+(x+y)^2+(x+y+z)^2=C^2(x^2+y^2+z^2).\)

Ao expandir os quadrados e reunir termos verifica‑se que a igualdade exige \(C^2=1\). Portanto \(C=\pm 1\).

Logo existem exatamente dois valores inteiros de \(C\) que atendem à condição: \(1\) e \(-1\).