A região R no plano xy é definida pelas condições x ≥ 0 e 4x3 - 3x ≤ y ≤ x. Qual é a área da região R?

Gabarito

D

Comentário do professor

A região R é limitada pelas curvas \(y=4x^3-3x\) e \(y=x\) com \(x\ge 0\). Para encontrar as interseções resolvemos \(4x^3-3x=x\), isto é \(4x^3-4x=0\Rightarrow 4x(x^2-1)=0\). Assim as soluções são \(x=0,\pm1\).

Como vale \(x\ge0\), o intervalo relevante é o **intervalo** \(0\le x\le1\), onde \(y=x\) fica acima de \(y=4x^3-3x\).

Logo a **área** é dada pela **integral** da diferença entre top e bottom: \(A=\int_0^1\big(x-(4x^3-3x)\big)\,dx=\int_0^1(4x-4x^3)\,dx\).

Calculando, \(A=\left[2x^2-x^4\right]_0^1=2-1=1\). Portanto a área da região \(R\) é \(1\).