Seja \(f : [0 + \infty) \rightarrow \mathbb{R}\) função definida por \(f(x) = x^3.e^{-x}\). O conjunto imagem da função f é

Gabarito

B

Comentário do professor

Calculamos \(f(x)=x^3e^{-x}\) em pontos extremos: \(\;f(0)=0\) e, como \(e^x\) domina potências, \(\lim_{x\to\infty}x^3e^{-x}=0\). Assim, o valor mínimo é \(0\).

Derivando: \(f'(x)=e^{-x}(3x^2-x^3)=x^2e^{-x}(3-x)\). Zeras de \(f'\) em \(\;x=0\) e \(\;x=3\).

Máximo: para \(x=3\) temos \(f(3)=27e^{-3}=\dfrac{27}{e^3}\). Como \(e^{-x}>0\), \(x=3\) é o único ponto interior de máximo local e é global no intervalo \([0,\infty)\).

Por continuidade de \(f\) em \([0,\infty)\) e pelos valores extremos obtidos, o conjunto imagem é o intervalo fechado \(\;[0,\tfrac{27}{e^3}]\), incluindo mínimo e máximo.