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Questão FC235860

Seja V \(\subset\) \(\mathbb{R}^3\) a região definida por: V = {(x,y,z) | y \(\ge\) 0 e \(-\sqrt{4 - x^2 - y^2}\) \(\le z \le\) \(-\sqrt{x^2 + y^2}\)} Representando os pontos do \(

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2018

Seja V \(\subset\) \(\mathbb{R}^3\) a região definida por: 

V = {(x,y,z) | y  \(\ge\) 0 e  \(-\sqrt{4 - x^2 - y^2}\)  \(\le z \le\)  \(-\sqrt{x^2 + y^2}\)}

 

Representando os pontos do \(\mathbb{R}^3\)  por meio das coordenadas esféricas usuais ( \(\rho\), \(\theta\), \(\varphi\)), \(\rho\) \(\ge\) 0,   0 ≤ \(\theta\) < 2  \(\pi\) e  0 ≤ \(\varphi\) ≤ \(\pi\), tem-se que a região V é dada por 

  1. V = {  \((\rho, \theta, \varphi) | 0 \le \rho \le 2 ; 0 \le \theta \le \pi; \frac{3\pi}{4} \le \varphi \le \pi\) }
  2. V = {  \((\rho, \theta, \varphi) | 0 \le \rho \le 2 ; 0 \le \theta \le 2; -2 \le \varphi \le 0\) }
  3. V = {  \((\rho, \theta, \varphi) | 0 \le \rho \le 4 ; 0 \le \theta \le \pi ; \frac{\pi}{2} \le \varphi \le \pi\) }
  4. V = {  \((\rho, \theta, \varphi) | 0 \le \rho \le 2 ; \pi \le \theta \le \frac{3\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \le \varphi \le \pi\) }
  5. V = {  \((\rho, \theta, \varphi) | 0 \le \rho \le 4 ; -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} ; \frac{3\pi}{4} \le \varphi \le \pi\) }
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Gabarito

A

Comentário do professor

Em coordenadas esféricas temos \(x=\rho\cos\theta\sin\varphi,\; y=\rho\sin\theta\sin\varphi,\; z=\rho\cos\varphi\), com \(\rho\ge0,\;0\le\theta<2\pi,\;0\le\varphi\le\pi\).

Da condição y ≥ 0 segue \(\rho\sin\varphi\sin\theta\ge0\). Como \(\rho\ge0\) e \(\sin\varphi\ge0\) em \([0,\pi]\), tem-se \(\sin\theta\ge0\), logo \(\theta\in[0,\pi]\).

Da desigualdade \(-\sqrt{4-x^2-y^2}\le z\) ao elevar ao quadrado obtemos \(x^2+y^2+z^2\le4\), isto é \(\rho^2\le4\). Como \(\rho\ge0\), resulta 0≤\(\rho\)≤2.

A condição \(z\le -\sqrt{x^2+y^2}\) com \(z=\rho\cos\varphi\) e \(\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\varphi\) leva a \(\rho\cos\varphi\le -\rho\sin\varphi\). Quadrando e simplificando dá \(\tan^2\varphi\le1\), ou \(\varphi\in[0,\pi/4]\cup[3\pi/4,\pi]\).

Como \(z\le0\) exige \(\cos\varphi\le0\) (isto é \(\varphi\in[\pi/2,\pi]\)), a interseção fornece \(\varphi\in[3\pi/4,\pi]\).

Conclusão: \(V=\{(\rho,\theta,\varphi)\mid 0\le\rho\le2,\;0\le\theta\le\pi,\;3\pi/4\le\varphi\le\pi\}\).

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