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Questão FC235861

Seja f : \(\mathbb{R}\) → \(\mathbb{R}\) a função definida por f(x) = \(\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2 - 2x + 2}\) A equação da reta do plano cartesiano que é uma assíntota oblíqua

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2018

Seja f : \(\mathbb{R}\) → \(\mathbb{R}\) a função definida por f(x) =  \(\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2 - 2x + 2}\)

A equação da reta do plano cartesiano que é uma assíntota oblíqua ao gráfico y = f(x) é

  1. y = x -  \(1 \over 2\) 
  2. y = x - 1
  3. y = 2x - 2
  4. y = 2x
  5. y = x  
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Gabarito

B

Comentário do professor

Para a função f definida por \(f(x)=\dfrac{x^3-3x^2+3x-1}{x^2-2x+2}\), como o grau do numerador é exatamente uma unidade maior que o do denominador, existe uma assíntota oblíqua dada pelo quociente da divisão polinomial.

Efetuando a divisão obtemos \(f(x)=x-1+\dfrac{x+1}{x^2-2x+2}\), onde \(x-1\) é o quociente e \(x+1\) o resto.

Como \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+1}{x^2-2x+2}=0\), segue que \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(x-1)\big)=0\). Portanto a reta assintótica é \(y=x-1\).

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