Questão FC235862
Seja T : \(\mathbb{R}^3\) → \(\mathbb{R}^3\) a transformação linear definida por T(x,y,z) = (5x - 6y - 6z, -x + 4y + 2z, 3x - 6y -4z). A transformação linear T possui dois autovalo
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Seja T : \(\mathbb{R}^3\) → \(\mathbb{R}^3\) a transformação linear definida por T(x,y,z) = (5x - 6y - 6z, -x + 4y + 2z, 3x - 6y -4z).
A transformação linear T possui dois autovalores, \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\). Sabe-se que \(\vec{u}\) = (3, -1,3) é um autovetor associado a \(\lambda_1\) e que \(\vec{v}\) = (2,1,0) e \(\vec{w}\) = (2,0,1) são autovetores associados a \(\lambda_2\). Considere a base \(\beta\) = { \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\)} e \(A_{3x3}\) = \([ T ]_\beta\) a matriz associada a T, relativamente à base \(\beta\). A soma dos elementos da diagonal principal da matriz \(A_{3x3}\) é
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
O valor pedido é o traço da matriz \( [T]_\beta \), isto é, a soma dos elementos da diagonal principal. Um fato fundamental: o traço é invariante por mudança de base, portanto igual ao traço da matriz de \(T\) na base canônica.
Da definição \(T(x,y,z)=(5x-6y-6z,\,-x+4y+2z,\,3x-6y-4z)\) obtemos
\( [T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix}5 & -6 & -6\\ -1 & 4 & 2\\ 3 & -6 & -4\end{pmatrix}\).
O traço dessa matriz é \(5+4+(-4)=5\). Como o traço é invariante, segue que a soma dos elementos da diagonal de \( [T]_\beta \) também é 5.
Alternativamente, pelo teorema espectral para traço, ele coincide com a soma dos autovalores com multiplicidade: \( \lambda_1+2\lambda_2=5\), confirmando o mesmo resultado.
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