Considere a função f : \(\mathbb{R}^3\) → \(\mathbb{R}^3\) definida por f (x,y,z) = x + y + z e o conjunto U \(\subset\) \(\mathbb{R}^3\) dado por U = {(x,y,z) | x 2 + y 2 = 2 e x

Gabarito

D

Comentário do professor

Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange para extremos de \(f(x,y,z)=x+y+z\) sob as restrições \(g(x,y,z)=x^2+y^2-2=0\) e \(h(x,y,z)=x+z-1=0\). Equivalentemente exigimos que

\(\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h\), ou que o determinante

\(\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\2x&2y&0\\1&0&1\end{array}\right|=0\).

Calculando o determinante obtém-se \(-2x=0\), logo \(x=0\). Pelas restrições vem \(y=\pm\sqrt{2}\) e \(z=1\).

Assim os extremos são \(f(0,\sqrt2,1)=1+\sqrt2\) (máximo) e \(f(0,-\sqrt2,1)=1-\sqrt2\) (mínimo). O produto é

\((1+\sqrt2)(1-\sqrt2)=1-2=-1\).