Considere uma reta r, tangente à curva de equação \(y - cos^2 x =0\) no ponto de coordenadas \({\begin {pmatrix} {\large \pi \over 4},\,{\large 1 \over 2} \end{pmatrix}}\). Assim,

Gabarito

A

Comentário do professor

Partimos da curva \(y-\cos^2 x=0\), ou seja \(y=\cos^2 x\). Para obter a reta tangente usamos a derivada da função, que fornece o coeficiente angular da reta.

Aplicando a regra da cadeia: \(y=(\cos x)^2\), com \(u=\cos x\) temos \(\dfrac{dy}{dx}=2u\cdot\dfrac{du}{dx}=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x\).

Avalia-se em \(x=\dfrac{\pi}{4}\): \(\dfrac{dy}{dx}\big|_{x=\pi/4}=-2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=-1\). Assim o coeficiente angular é \(-1\).

Usando a forma ponto-ângulo com o ponto \(\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac12\right)\): \(y- \dfrac12 = -1\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\). Simplificando obtém-se a equação da reta tangente: \(y=-x+\dfrac{\pi+2}{4}\).