Considere a série \(S_n = x+2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \ldots + nx^n\), em que |x| < 1. O limite de Sn, quando n tende a infinito, é igual a

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Seja \(S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n kx^k\) com \(|x|<1\). Multiplicando por \(x\) obtemos \(xS=\sum_{k=1}^\infty kx^{k+1}=\sum_{k=2}^\infty (k-1)x^k\).

Subtraindo, temos \(S-xS=\sum_{k=1}^\infty kx^k-\sum_{k=2}^\infty (k-1)x^k=\sum_{k=1}^\infty x^k\).

O lado direito é uma série geométrica convergente para \(\dfrac{x}{1-x}\) (pois \(|x|<1\)). Assim \(S(1-x)=\dfrac{x}{1-x}\).

Isolando \(S\) obtemos o resultado \(S=\dfrac{x}{(1-x)^2}\), que é o valor do limite pedido.