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Questão FC235867

Considere a função f(x,y), de \(\mathbb{R}^2\) em \(\mathbb{R}\), contínua em todo o \(\mathbb{R}^2\), e a região D do \(\mathbb{R}\) delimitada pelas retas x = 0 e y = 6 - x e pel

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2018

Considere a função f(x,y), de \(\mathbb{R}^2\) em \(\mathbb{R}\), contínua em todo o \(\mathbb{R}^2\), e a região D do \(\mathbb{R}\) delimitada pelas retas x = 0 e y = 6 - x e pela parábola y = x².

 

A integral iterada que calcula a integral dupla de f(x,y), sobre a região D é

  1. \(\int_{0}^{2}\) \(\int_{x^2}^{6-x}\) f(x,y)dy dx

  2. \(\int_{0}^{2}\) \(\int_{x^2}^{6-x}\) f(x,y)dx dy

  3. \(\int_{0}^{2}\) \(\int_{6-x}^{x^2}\) f(x,y)dy dx

  4. \(\int_{0}^{2}\) \(\int_{6-x}^{x^2}\) f(x,y)dx dy

  5. \(\int_{6-x}^{x^2}\) \(\int_{0}^{2}\) f(x,y)dx dy

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Gabarito

A

Comentário do professor

A região D é limitada pelas curvas \(y=x^2\) (parábola), \(y=6-x\) (reta) e pela reta vertical \(x=0\). Como \(f\) é contínua, podemos usar a integral iterada para calcular a integral dupla.

Primeiro determinamos onde a parábola intersecta a reta: \(x^2=6-x\Rightarrow x^2+x-6=0\), cujas raízes são \(x=-3\) e \(x=2\). No intervalo relevante de interseção com \(x=0\) tomamos \(x\in[0,2]\).

Para cada \(x\) fixo em \([0,2]\), a coordenada \emph{y} varia da parábola (menor) até a reta (maior), ou seja de \(y=x^2\) até \(y=6-x\).

Portanto a integral iterada que representa a integral dupla sobre D é \(\displaystyle \int_{0}^{2}\int_{x^2}^{6-x} f(x,y)\,dy\,dx\), já que integramos primeiro em \(y\) (entre as curvas) e depois em \(x\) (entre 0 e 2).

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