Seja f uma função real de variável real tal que f(1) = -2 e diferenciável para todo x real com f '(x) ≤ 4. O valor máximo de f(4) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Aplicamos o Teorema do Valor Médio entre 1 e 4: existe \(c\in(1,4)\) tal que \(\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=f'(c)\).

Como \(f'(x)\le 4\) para todo \(x\), temos \(\dfrac{f(4)-(-2)}{3}=f'(c)\le 4\).

Daí \(f(4)+2\le 12\), ou seja, \(f(4)\le 10\). Esse é um limite superior para \(f(4)\).

Para mostrar que o valor é atingível, note que se \(f'(x)=4\) para todo \(x\), então \(f(x)=4x+C\). Com \(f(1)=-2\) obtemos \(C=-6\) e \(f(4)=4\cdot4-6=10\).

Portanto, o máximo possível de \(f(4)\) é \(\mathbf{10}\).