Considere a transformação linear T : \(\mathbb{R}^4\) \(→\) \(\mathbb{R}^4\), definida por: T(x,y,z,w) = (x - y, y - z, z - w, w - x). A dimensão da imagem de T é:

Gabarito

D

Comentário do professor

Considere T e escreva-a como combinação linear das colunas obtidas sobre os vetores coordenados: \(T(x,y,z,w)=x(1,0,0,-1)+y(-1,1,0,0)+z(0,-1,1,0)+w(0,0,-1,1)\).

Esses quatro vetores geram a imagem de T. Colocando-os como linhas (ou colunas) numa matriz e aplicando operações elementares, obtemos uma forma escalonada com uma linha nula:

\(\begin{bmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\).

Isso mostra que há três linhas (vetores) linearmente independentes; portanto o posto (rank) de T é 3. Uma base explícita da imagem é, por exemplo, \(\{(1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)\}\).

Assim, a dimensão de \(Im(T)\) é 3.