Questão FC235874
Qual das transformações a seguir NÃO é uma transformação linear?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Transformações são funções definidas em espaços vetoriais. Transformações que satisfazem determinadas propriedades são chamadas de transformações lineares.
Qual das transformações a seguir
NÃO é uma transformação linear?
- \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2;\) T(x,y,z) = (x + y, y + z)
- \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2;\) T(x,y,z) = (x - y, y - yz)
- \(T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R};\) T(x,y) = x + y
- \(T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};\) T(x) = -2x
- \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R};\) T(x,y,z) = 0
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Gabarito
B
Comentário do professor
A transformação \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x-y,\;y-yz)\), não é linear.
Basta verificar a homogeneidade: escolha, por exemplo, \(v=(0,1,1)\) e escalar \(a=2\). Temos \(T(v)=( -1,0)\) e \(T(2v)=T(0,2,2)=(-2,-2)\).
Se \(T\) fosse linear, deveria ocorrer \(T(2v)=2T(v)=(-2,0)\), o que não acontece (segunda componente distinta). Portanto a propriedade \(T(av)=aT(v)\) falha.
Esse comportamento decorre do termo \(\,y\,z\), que é um produto de coordenadas — ou seja, uma expressão não linear. Em transformações lineares cada componente deve ser combinação linear das coordenadas (sem produtos entre elas).
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