Qual o comprimento dessa curva quando x varia de 0 até 1?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

O comprimento de curva para \(y=f(x)\) em \([a,b]\) é \(S=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\).

Aqui \(y=\dfrac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}\). Calculando a derivada: \(f'(x)=x\sqrt{x^2+2}\), logo \((f'(x))^2=x^2(x^2+2)=x^4+2x^2\).

Assim o integrando é \(\sqrt{1+x^4+2x^2}=\sqrt{(x^2+1)^2}\). Como \(x\in[0,1]\) temos \(x^2+1>0\), então \(\sqrt{(x^2+1)^2}=x^2+1\).

Portanto \(S=\int_0^1 (x^2+1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^1=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}\).