Na Figura a seguir, a função real dada por f(x) = x³, a reta tangente à função f no ponto (1, 1) e o eixo x limitam um região que aparece sombreada. A área dessa região é igual a

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para obter a área sombreada calculamos a diferença entre as áreas sob a curva \(f(x)=x^3\) e sob a reta tangente em \((1,1)\).

A derivada é \(f'(x)=3x^2\), logo o coeficiente angular em \(x=1\) é \(3\). A equação da reta é \(y=3(x-1)+1=3x-2\).

O ponto de interseção dessa reta com o eixo \(x\) satisfaz \(3x-2=0\), daí \(x=\tfrac{2}{3}\). Assim integramos em \(x\in[0,1]\) e em \(x\in[\tfrac{2}{3},1]\).

Calculando: \(A_1=\int_0^1 x^3dx=\left.\dfrac{x^4}{4}\right|_0^1=\dfrac{1}{4}\).
\(A_2=\int_{2/3}^1 (3x-2)dx=\left.\left(\dfrac{3x^2}{2}-2x\right)\right|_{2/3}^1=\dfrac{1}{6}\).

A área pedida é \(A_1-A_2=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}\). Portanto a resposta é \(\tfrac{1}{12}\).