Seja f uma função real que admite inversa. Se f(1) = 1, f '(1) = 2, f "(1) = - 16 e g é a inversa de f, então g"(1) é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Começamos da identidade entre uma função e sua inversa: \(g(f(x))=x\).

Derivando, pela regra da cadeia, obtemos \(g'(f(x))\cdot f'(x)=1\), portanto \(g'(f(x))=\dfrac{1}{f'(x)}\).

Derivando novamente a expressão \(g'(f(x))\cdot f'(x)=1\) e usando a produto/encadeamento, vem \((g''(f(x))\cdot f'(x))\cdot f'(x)+g'(f(x))\cdot f''(x)=0\).

Isolando \(g''(f(x))\) e substituindo \(g'(f(x))=\dfrac{1}{f'(x)}\) resulta na fórmula \(g''(f(x))=-\dfrac{f''(x)}{(f'(x))^3}\).

Como \(f(1)=1\), temos \(g''(1)=g''(f(1))=-\dfrac{f''(1)}{(f'(1))^3}=-\dfrac{-16}{2^3}=\dfrac{16}{8}=2\).