Qual é o valor mínimo assumido pela função f?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Calcule a derivada de \(f(x)=x^3\ln x\): \(f'(x)=3x^2\ln x+x^2=x^2(3\ln x+1)\).

Igualando a zero para obter o ponto crítico: \(x^2(3\ln x+1)=0\). Como \(x>0\), tem-se \(3\ln x+1=0\), portanto \(\ln x=-\tfrac{1}{3}\) e \(x=e^{-1/3}\).

Use o teste da segunda derivada: \(f''(x)=2x(3\ln x+1)+3x=x(6\ln x+5)\). Em \(x=e^{-1/3}\), \(6\ln x+5=3>0\), logo \(f''>0\) e é um mínimo local (e, pelo comportamento da função em \( (0,\infty)\), também global).

Avalie \(f\) no ponto: \(f(e^{-1/3})=(e^{-1/3})^3\ln(e^{-1/3})=e^{-1}\cdot(-\tfrac{1}{3})=-\tfrac{1}{3e}\).

Portanto, o valor mínimo de \(f\) é \(-\tfrac{1}{3e}\).