Qual é o valor da integral definida \(\int^\pi_0\) x .cos(x) dx?

Gabarito

B

Comentário do professor

Integração por partes: aplicamos \( \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du\).

Escolhemos \(u = x\) e \(dv = \cos x\,dx\). Então \(du = dx\) e \(v = \sin x\).

A antiderivada é \( \displaystyle\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C\).

Avaliação no intervalo \([0,\pi]\): \( \big[ x\sin x + \cos x \big]_0^{\pi} = (\pi\sin\pi + \cos\pi) - (0\sin0 + \cos0)\).

Como \(\sin\pi=0\), \(\cos\pi=-1\) e \(\cos0=1\), obtemos \(-1 - 1 = \, \color{black}{\mathbf{-2}}\).