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Questão FC235882

Dentre todos os vetores unitários \(\overset{→} {v}\) e \(\mathbb {R}^2\), qual é aquele para o qual a derivada direcional \({ \large ∂f \over ∂\overset{→} {v}}\)(1,2) assume o seu

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2018

Seja f a função definida por  f(x,y) = xy² + \({ \large y \over x}\)+ 2, x \(≠\) 0.

 

Dentre todos os vetores unitários \(\overset{→} {v}\) e \(\mathbb {R}^2\), qual é aquele para o qual a derivada direcional \({ \large ∂f \over ∂\overset{→} {v}}\)(1,2) assume o seu maior valor?

  1. \((1,0)\)
  2. \((0,1)\)
  3. \(\begin{pmatrix} { \large 3 \over 5} , { \large 4 \over 5} \end{pmatrix}\)
  4. \(\begin{pmatrix} { \large 3\sqrt{34} \over 34} , { \large 5\sqrt{34} \over 34} \end{pmatrix}\)
  5. \(\begin{pmatrix} { \large 2 \sqrt{29} \over 29} , { \large 5 \sqrt{29} \over 29} \end{pmatrix}\)
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Calcule o gradiente: \( \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(y^2-\frac{y}{x^2},\,2xy+\frac{1}{x}\right).\)

Em \((1,2)\): \( \nabla f(1,2)=(2^2-\frac{2}{1^2},\,2\cdot1\cdot2+\frac{1}{1})=(2,5).\)

A derivada direcional em módulo atinge o máximo quando a direção é a do gradiente; o vetor de maior crescimento é o vetor unitário na direção de \(\nabla f(1,2)\).

Normalizando: \( \frac{(2,5)}{\sqrt{29}}=\left(\frac{2\sqrt{29}}{29},\frac{5\sqrt{29}}{29}\right),\) que é exatamente a alternativa correta.

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