Questão FC235883
Sejam \(\overset{\rightarrow} {F}\) : \(\mathbb{R}^2\) \(\rightarrow\) \(\mathbb{R}^2\) o campo vetorial definido por \(\overset{\rightarrow} {F}\) (x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) = (\(e^
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Sejam \(\overset{\rightarrow} {F}\) : \(\mathbb{R}^2\) \(\rightarrow\) \(\mathbb{R}^2\) o campo vetorial definido por \(\overset{\rightarrow} {F}\) (x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) = (\(e^y\) - 3x²y² + 6x, \(xe^y\) - 2x³y - 1) e \(\alpha\) : [a,b] \(\rightarrow\) \(\mathbb{R}^2\) uma curva simples diferenciável, tal que \(\alpha\)(a) = (0, 1) e \(\alpha\)(b) = (1,0).
A integral de linha
- -5
- 2
- 0
- 2
- 5
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Verificamos que o campo é conservativo: \(P_y=\frac{\partial}{\partial y}(e^y-3x^2y^2+6x)=e^y-6x^2y\) e \(Q_x=\frac{\partial}{\partial x}(xe^y-2x^3y-1)=e^y-6x^2y\), iguais em \(\mathbb{R}^2\).
Buscamos a função potencial \(f\) com \(f_x=P\). Integrando em \(x\): \(f(x,y)=xe^y-x^3y^2+3x^2+g(y)\). Diferenciando em \(y\): \(f_y=xe^y-2x^3y+g'(y)\) e igualando a \(Q\) obtemos \(g'(y)=-1\), logo \(g(y)=-y\).
Assim \(f(x,y)=xe^y-x^3y^2+3x^2-y\). A integral de linha é \(f(1,0)-f(0,1)=(1+3-0)-(0-1)=4-(-1)=5\).
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em