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Questão FC235886

Seja a função periódica F(x), de período L = 5, definida sobre todo o eixo dos reais: para - 5/2 < x < 0: F(x) = - 2 ; para x = 0, F(x) = 0; para 0 < x < 5/2: F(x) = 2 . O desenvol

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2018

Seja a função periódica F(x), de período L = 5, definida sobre todo o eixo dos reais:

 

para - 5/2 < x < 0: F(x) = - 2 ;


para x = 0, F(x) = 0;


para 0 < x < 5/2: F(x) = 2 .

 

O desenvolvimento em série de Fourier para a função acima é

  1. \(\sum_{n=1,2,3,...}\) \((8/n\pi) cos (2n\pi x / 5)\)
  2. \(\sum_{n=1,2,3,...}\) \((8/n\pi) sen (2n\pi x / 5)\)
  3. \(2 + \sum_{n=1,2,3,...} {(8/n\pi) sen (2n\pi x / 5) + (8/n\pi) cos (2n\pi x / 5)}\)
  4. \(\sum_{n=1,3,5,...}\) \((8/n\pi) cos (2n\pi x / 5)\)
  5. \(\sum_{n=1,3,5,...}\) \((8/n\pi) sen (2n\pi x / 5)\)
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

A função é ímpar e tem período \(T=5\), logo os termos cosseno desaparecem e a série fica com coeficientes senoidais \(b_n\). Usando a fórmula padrão

\(b_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{-T/2}^{T/2} F(x)\sin\!\left(\dfrac{2\pi n x}{T}\right)\,dx\), com \(T=5\),

como \(F\) é ímpar e \(\sin\) também, o integrando é par e podemos escrever

\(b_n=\dfrac{4}{5}\displaystyle\int_{0}^{5/2}F(x)\sin\!\left(\dfrac{2\pi n x}{5}\right)dx\). Sobre \((0,5/2)\) temos \(F(x)=2\), então

\(b_n=\dfrac{8}{5}\displaystyle\int_{0}^{5/2}\sin\!\left(\dfrac{2\pi n x}{5}\right)dx =\dfrac{8}{5}\left[-\dfrac{5}{2\pi n}\cos\!\left(\dfrac{2\pi n x}{5}\right)\right]_0^{5/2}\)

isto é \(b_n=-\dfrac{4}{\pi n}\big((-1)^n-1\big)\). Para \(n\) par isso é zero; para \(n\) ímpar vale \(\dfrac{8}{\pi n}\).

Portanto a série de Fourier é \(\displaystyle\sum_{n=1,3,5,\dots}\dfrac{8}{n\pi}\sin\!\left(\dfrac{2\pi n x}{5}\right)\).

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