Questão FC235887
Seja a função f(x) = \({ \large 1 \over \sqrt{2\pi σ^2_1}}\) e \(^{- {\large x^2 \over 2 σ^2_1}}\) cuja transformada de Fourier é dada por F(f) = \(\int_{-∞}^{+∞}\) dx e \(^{-iωx}\
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Seja a função f(x) = \({ \large 1 \over \sqrt{2\pi σ^2_1}}\) e \(^{- {\large x^2 \over 2 σ^2_1}}\) cuja transformada de Fourier é dada por F(f) = \(\int_{-∞}^{+∞}\) dx e \(^{-iωx}\) f(x) = exp(- \(ω^2 σ^2_1\)/2).
Seja, também, g(x) = \({ \large 1 \over \sqrt{2\pi σ^2_2}}\) e \(^{- {\large x^2 \over 2 σ^2_2}}\). A convolução entre f e g
é dada por H(x) = \(\int_{-∞}^{+∞}\) du f(u) g(x - u).
Sendo assim, H(x) é igual a
- exp(-x²/(2\(σ^2_1\)))/ \(\sqrt{(2\pi σ^2_1}\)
- exp(-x²/(2\(σ^2_1\) + \(σ^2_2\))))/ \(\sqrt{2\pi (σ^2_1 + σ^2_2)}\)
- exp(-x²/(2\(σ^2_2\)))/ \(\sqrt{(2 \pi σ^2_2)}\)
- exp(-x²/(\(σ^2_1\)))/\(\sqrt{(2\pi σ^2_1) exp (- x^2 / (2 σ^2_2))}\)
- exp(-x²/(2(\(σ^2_1\) . \(σ^2_2\))))/ \(\sqrt{2 \pi (σ^2_1 . σ^2_2)}\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Sabendo que a transformada de Fourier de \(f\) é \(F_f(\omega)=e^{-\omega^2\sigma_1^2/2}\), por analogia a de \(g\) é \(F_g(\omega)=e^{-\omega^2\sigma_2^2/2}\).
Pela propriedade que convolução no domínio do tempo vira produto no domínio de Fourier, temos \(F_H(\omega)=F_f(\omega)\,F_g(\omega)=e^{-\omega^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)/2}\).
Reconhecendo a forma da transformada obtida, a inversa é uma gaussiana com a variância igual à soma das variâncias originais. Assim
\(H(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\,\exp\!\bigg(-\dfrac{x^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\bigg)\),
que coincide com a alternativa correcta.
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