Questão FC235888
Qual é a transformada de Fourier de f(t)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
Seja a função \(f(t) = - \dfrac{t^2}{\sqrt{(b / 2\pi)}} \ e^{- \dfrac{bt^2}{2}}\), onde b é constante.
Dado
\(\int_{- ∞}^{+ ∞}\)dxe\(^{iωx}\)exp{-bx²/2}\(\sqrt{(b/2\pi)}\) = exp(- \(ω^2\)/ 2b)
Qual é a transformada de Fourier de f(t)?
- exp(-\(ω^2\)/2b)
- -\(ω^2\) exp{-b \(ω^2\) / 2}/\(\sqrt{(b/2\pi)}\)
- (1 / b) exp(- \(ω^2\) / 2b)
- (\(ω^2\)/\(b^2\)) exp(- \(ω^2\) / 2b)
- (\(ω^2\)/\(b^2\)-1/b) exp(-\(ω^2\)/2b)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Usando a identidade fornecida, considere \(g(t)=e^{-bt^2/2}\) com transformada \(G(\omega)=e^{-\omega^2/2b}\).
A propriedade chave é: \(\mathcal F\{t^n f(t)\}=i^n \dfrac{d^n}{d\omega^n}\mathcal F\{f\}\). Assim,
\(\mathcal F\{t^2g(t)\}=i^2 \dfrac{d^2}{d\omega^2}G(\omega)=-\dfrac{d^2G}{d\omega^2}\).
Como \(f(t)=-t^2 g(t)\), temos \(F(\omega)=-\mathcal F\{t^2g\}=\dfrac{d^2G}{d\omega^2}\).
Derivando \(G\): \(\dfrac{d^2G}{d\omega^2}=\left(\dfrac{\omega^2}{b^2}-\dfrac{1}{b}\right)e^{-\omega^2/2b}\).
Logo, a transformada de \(f\) é \(\boxed{\left(\dfrac{\omega^2}{b^2}-\dfrac{1}{b}\right)e^{-\omega^2/2b}}\), conforme a alternativa correta.
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