A transformada de Fourier, \(\mathcal{F}\)(f) = F(w) = \(\int_{-∞}^{∞}\)f(t)e\(^{-iwt}\) dt, da função f(t) = \(\begin{cases} e^{-3(t+\pi)}, t > - \pi \\ 0, t \le - \pi \end{cases}

Gabarito

A

Comentário do professor

A transformada de Fourier é \( \mathcal{F}\{f\}(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iwt}\,dt\). Como \(f(t)=e^{-3(t+\pi)}\) só para \(t>-\pi\), os limites reduzem-se a \( \int_{-\pi}^{\infty} e^{-3(t+\pi)}e^{-iwt}\,dt\).

Reescrevendo o integrando: \(= \int_{-\pi}^{\infty} e^{-t(3+iw)}e^{-3\pi}\,dt = e^{-3\pi}\int_{-\pi}^{\infty} e^{-t(3+iw)}\,dt\), onde \(3+iw\) tem parte real positiva, garantindo convergência.

Integral imediata: \(\int e^{-t(3+iw)}dt = -\frac{e^{-t(3+iw)}}{3+iw}\). Avaliando em \([-\pi,\infty)\) e usando que o termo em \(\infty\) anula-se, obtemos

\(e^{-3\pi}\cdot \frac{e^{\pi(3+iw)}}{3+iw} = \frac{e^{\pi i w}}{3+iw}\).