Um estudo indicou que a população P(t) de uma determinada espécie, dada em milhares de indivíduos, pode ser modelada pela seguinte função: P(t) = \({ \large 200 \over 1+4e^{(-t+2)}

Gabarito

B

Comentário do professor

A capacidade de suporte é o valor que \(P(t)\) tende quando \(t\to\infty\). Na função \(P(t)=\dfrac{200}{1+4e^{2-t}}\), o denominador tende a 1, logo a capacidade é \(200\) (mil indivíduos).

Metade dessa capacidade é \(100\). Igualando: \( \dfrac{200}{1+4e^{2-t}}=100\).

Multiplicando ambos os lados por \(1+4e^{2-t}\) e simplificando obtém-se \(4e^{2-t}=1\), isto é \(e^{2-t}=\tfrac{1}{4}\).

Aplicando ln: \(2-t=\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-\ln 4=-2\ln 2\). Portanto \(t=2+2\ln 2\).

Com \(\ln 2=0{,}693\) vem \(t=2+2(0{,}693)=3{,}386\), que arredondado dá aproximadamente 3,4 décadas.