O maior valor que a função real, y = f(x), de variável real, definida por y = 3sen(x) + 4cos(x), pode assumir é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Podemos escrever a soma de senos e cossenos como um único seno com fase: \(3\sen x+4\cos x = R\sen(x+\varphi)\).

Calculamos a amplitude \(R=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\). Escolhemos \(\varphi\) tal que \(R\cos\varphi=3\) e \(R\sen\varphi=4\), ou seja \(\cos\varphi=3/5\), \(\sen\varphi=4/5\), compatíveis com a identidade trigonométrica.

Como \(\sen(x+\varphi)\) varia entre \(-1\) e \(1\), o maior valor possível de \(R\sen(x+\varphi)\) é \(R\cdot 1\). Portanto o valor máximo de \(3\sen x+4\cos x\) é \(5\).