Questão FC235892
A área da região S corresponde a que fração da área do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 9) e (0, 9)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2018
As funções reais de variáveis reais f e g estão representadas abaixo, no mesmo sistema de eixos cartesianos, sendo 0 e 4 os zeros da função quadrática f, e g uma função linear que intersecta o gráfico de f nos pontos (0,0) e (3, 6). Seja S a região do plano (sombreada) constituída de todos os pontos que estão abaixo do gráfico de f e acima do gráfico de g.
A área da região S corresponde a que fração da área do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 9) e (0, 9)?
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Gabarito
D
Comentário do professor
A reta passa por (0,0) e (3,6); sua inclinação é \(6/3=2\), logo \(y=2x\).
A parábola tem raízes 0 e 4, então escrevemos \(y=ax(x-4)\). Como passa por (3,6): \(6=a\cdot3\cdot(-1)=-3a\), logo \(a=-2\) e \(y=-2x^2+8x\).
A região S está entre as curvas de \(x=0\) até \(x=3\). Assim
\(S=\displaystyle\int_0^3\big((-2x^2+8x)-2x\big)\,dx=\int_0^3(-2x^2+6x)\,dx.\)
Antiderivada: \(-\tfrac{2}{3}x^3+3x^2\). Avaliando em 0 e 3 obtém-se \(S=9\).
O retângulo tem área \(4\times9=36\). Portanto a fração é \(\dfrac{9}{36}=\)\ \(1/4\).
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