Qual é o valor do limite \(lim_{ x \rightarrow \infty} { \large \sqrt{ {\begin{pmatrix} \sqrt{x} + 1 \end{pmatrix}}} \over 2 \sqrt[4] {x} + 1}\)?

Gabarito

B

Comentário do professor

Faça a mudança de variável \(u=\sqrt[4]{x}\), assim \(\sqrt{x}=u^2\) e o limite vira \( \lim_{u\to\infty} \dfrac{\sqrt{u^2+1}}{2u+1}\).

Dividindo numerador e denominador por \(u\) obtemos \( \lim_{u\to\infty} \dfrac{\sqrt{(u^2+1)/u^2}}{(2u+1)/u} = \lim_{u\to\infty} \dfrac{\sqrt{1+1/u^2}}{2+1/u}.\)

Ao fazer \(u\to\infty\), os termos \(1/u\) e \(1/u^2\) tendem a zero, restando \( \dfrac{\sqrt{1}}{2}.\)

Resultado: \( \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\sqrt{x}+1}}{2\sqrt[4]{x}+1}=\boxed{\tfrac{1}{2}}\).