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Questão FC235895

Seja \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4\) uma transformação linear, cujo núcleo (kernel) e cuja imagem são representados, respectivamente, por Ker(T) e Im(T). Se n é a dime

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2015

Seja \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4\) uma transformação linear, cujo núcleo (kernel) e cuja imagem são representados, respectivamente, por Ker(T) e Im(T).


Se n é a dimensão do espaço vetorial Ker(T), e m é a dimensão do espaço vetorial Im(T), então o valor de n+m é

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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Aplicamos o teorema do núcleo e da imagem (posto-nulidade): para qualquer transformação linear \(T: V \to W\) vale \( \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im} T) = \dim V\).

No caso dado, \(T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4\), o espaço domínio é \(\mathbb{R}^3\), cuja dimensão é 3. Assim temos

\(n + m = \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im} T) = \dim(\mathbb{R}^3) = 3\).

Portanto, o valor procurado é 3. Note que não é necessário conhecer explicitamente \(\ker T\) ou \(\operatorname{Im} T\); basta a dimensão do domínio.

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