Questão FC235897
Qual o valor de \(\text{f} \left ( {\pi\over 2} \right )\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2014
Seja f: \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) uma função duas vezes diferenciável tal que:
I- \(\text{f"}(x)=2.cos(x)-x.sen(x)+2\);
II – a reta tangente ao gráfico da função f no ponto (0,2) tem equação \(y=3x+2\).
Qual o valor de \(\text{f} \left ( {\pi\over 2} \right )\)?
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\({\pi^2\over 4}+{3\pi\over 2}+2\).
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\({\pi^2\over 4}+2\pi+2\).
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\(\pi+4\).
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\(2-{\pi\over 2}\).
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\({3\pi\over 2}+2\).
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Gabarito
B
Comentário do professor
Da equação da reta tangente \(y=3x+2\) no ponto \((0,2)\) segue que \(f'(0)=3\) e \(f(0)=2\).
Integrando \(f''(x)=2\cos x - x\sin x +2\) obtemos \(f'(x)=\sin x + x\cos x +2x + C\).
Aplicando \(f'(0)=3\) dá \(C=3\), logo \(f'(x)=\sin x + x\cos x +2x +3\).
Integrando novamente: \(\int \sin x\,dx=-\cos x\), \(\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x\), portanto \(f(x)=x\sin x + x^2 +3x + C_2\).
Como \(f(0)=2\) resulta \(C_2=2\). Assim \(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{\pi}{2}+ \tfrac{\pi^2}{4} + \tfrac{3\pi}{2} +2 = \tfrac{\pi^2}{4}+2\pi+2\).
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