Questão FC235898
Quais são o máximo e o mínimo de f(x), respectivamente?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2014
Um problema de programação não linear recaiu no problema de determinar e classificar os pontos críticos de
\(f(x)=2x^2(x^2-1)\).
Quais são o máximo e o mínimo de f(x), respectivamente?
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\(0;-{1\over 2}\).
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\({1\over 2};0\).
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\({\sqrt{2}\over 2};-{\sqrt{2}\over 2}\).
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\(-{\sqrt{2}\over 2};0\).
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\(2;0\).
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Gabarito
A
Comentário do professor
Calcule os pontos críticos resolvendo \(f'(x)=0\). Com \(f(x)=2x^4-2x^2\) tem-se \(f'(x)=8x^3-4x=4x(2x^2-1)\), logo \(x=0\) e \(x=\pm\sqrt{1/2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Use a segunda derivada: \(f''(x)=24x^2-4\). Avaliando em \(x=0\) dá \(f''(0)=-4<0\), sinal que caracteriza um máximo local.
Em \(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) temos \(x^2=\tfrac12\) e \(f''=\;24\cdot\tfrac12-4=8>0\), portanto são pontos de mínimo locais.
Avalie a função: \(f(0)=0\) e \(f\!\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\tfrac{1}{2}\). Assim, o máximo é \(0\) e o mínimo é \(-\tfrac{1}{2}\).
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