Considere a transformação linear \(T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) definida pela matriz \(A = \begin{bmatrix} 4&-1&6\\2&1&6\\2&-1&8\end{bmatrix}\). O número real 2 é um au

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Subtraindo \(2I\) de \(A\) obtemos \(A-2I=\begin{bmatrix}2&-1&6\\2&-1&6\\2&-1&6\end{bmatrix}\). Todas as linhas são iguais, então o sistema \((A-2I)\mathbf v=0\) reduz-se a uma única equação.

A equação é \(2x-y+6z=0\), logo \(x=\dfrac{y}{2}-3z\). Escrevendo \(\mathbf v=(x,y,z)\) em função de \(y\) e \(z\) temos \(\mathbf v=y\left(\tfrac12,1,0\right)+z(-3,0,1)\).

Os vetores \(\left(\tfrac12,1,0\right)\) e \((-3,0,1)\) são linearmente independentes e geram o autoespaço associado a \(\lambda=2\).

Multiplicando o primeiro por 2 obtemos \((1,2,0)\), que não altera o subespaço gerado. Assim, a base \(\{(1,2,0),\,(-3,0,1)\}\) é válida: os vetores são independentes e geram todos os autovetores com autovalor 2.