FC ConcursosFC Concursos

Questão FC235902

A Figura mostra um reservatório que tem a forma de um cone reto, cujo eixo é perpendicular ao solo e cuja altura e raio da base medem 10 metros. O reservatório estava vazio e passo

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2014

A Figura mostra um reservatório que tem a forma de um cone reto, cujo eixo é perpendicular ao solo e cuja altura e raio da base medem 10 metros. O reservatório estava vazio e passou a receber resíduos líquidos segundo uma taxa constante de 0,25 m3 por segundo.

 

A altura do nível do líquido presente no reservatório aumenta em função do tempo. Essa altura, em metros, é representada por h(t), sendo t o tempo dado em segundos e contado a partir do momento em que os resíduos passaram a ser despejados no reservatório.

A velocidade de variação da altura h em relação ao tempo, em m/s, no instante em que h for igual a 5 metros, será de

  1. \(\frac{1}{100\pi}\)
  2. \(\frac{1}{10\pi}\)
  3. \(\frac{40}{\pi}\)
  4. 2,5
  5. 0,25
Mostrar resposta e comentário

Gabarito

A

Comentário do professor

Comece pelo volume do cone: \(V=\dfrac{\pi r^2 h}{3}\).

Pela semelhança das seções, como o cone tem raio e altura iguais (10 m), tem-se \(r/h=10/10=1\), logo \(r=h\). Assim \(V=\dfrac{\pi h^3}{3}\).

Derivando em relação ao tempo (regra da cadeia): \(V'(t)=\pi h(t)^2\,h'(t)\).

Isolando \(h'(t)\): \(h'(t)=\dfrac{V'(t)}{\pi h(t)^2}\). Substitua \(V'(t)=0{,}25\) m³/s e \(h=5\) m.

Obtém-se \(h'=\dfrac{0{,}25}{\pi\cdot25}=\dfrac{1}{100\pi}\) m/s. As unidades conferem: m³/s dividido por m² resulta em m/s.

Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em

Continue aprendendo