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Questão FC235903

Considere V um espaço vetorial e \(\vec{v}\)1,\(\vec{v}\)2,\(\vec{v}\)3,...,\(\vec{v}\)n elementos de V. Considere U o subespaço de V gerado por tais n elementos. Dizer que o conju

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2014

Considere V um espaço vetorial e \(\vec{v}\)1,\(\vec{v}\)2,\(\vec{v}\)3,...,\(\vec{v}\)n elementos de V. Considere U o subespaço de V gerado por tais n elementos.

 

Dizer que o conjunto { \(\vec{v}\)1,\(\vec{v}\)2,\(\vec{v}\)3,...,vn} é linearmente dependente é o mesmo que dizer que a dimensão do espaço

  1. U é igual a n.
  2. U é menor do que n.
  3. U é menor do que a dimensão do espaço V.
  4. V é menor do que a dimensão do espaço U.
  5. V é a dimensão do espaço U adicionada a n.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Se o conjunto \(\{\vec v_1,\dots,\vec v_n\}\) é linearmente dependente, existe uma relação linear não trivial: \(c_1\vec v_1+\dots+c_n\vec v_n=0\) com nem todos os \(c_i\) iguais a zero.

Daí segue que algum vetor pode ser escrito como combinação linear dos demais, isto é, ele não acrescenta novas direções ao espaço gerado.

Ao remover esse vetor, o subespaço gerado permanece o mesmo; repetindo o procedimento obtemos um conjunto linearmente independente que gera \(U\).

Esse conjunto independente é uma base de \(U\) e tem, no máximo, \(n-1\) elementos.

Como a dimensão de \(U\) é a cardinalidade de uma base, conclui-se que \(\dim U

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