Questão FC235904
Sabe-se que V(2) = 3, isto é, duas horas após a bomba ter sido ligada, havia 3 m3 de água no reservatório. Qual é o menor valor de t para o qual V(t) pode ser igual a zero?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2014
A medida do volume de água presente em um reservatório, em metros cúbicos, é representada por V. Uma bomba foi ligada (t = 0) e tal medida passou a variar em função do tempo t, dado em horas, por meio da função V : \(V: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}\). A função V é derivável, e sua derivada é tal que |V′(t)|≤1, \(\forall\)t>0.
Sabe-se que V(2) = 3, isto é, duas horas após a bomba ter sido ligada, havia 3 m3 de água no reservatório. Qual é o menor valor de t para o qual V(t) pode ser igual a zero?
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Gabarito
D
Comentário do professor
Como \( |V'(t)|\le 1\), a derivada limitada impõe que a função não pode decair mais rápido que taxa \(-1\). Em outras palavras, a taxa máxima de decaimento é \(-1\).
Pelo Teorema do Valor Médio ou por integração, para \(t\ge 2\) tem-se a desigualdade mínima admissível \(V(t)\ge 3-(t-2)=5-t\). A igualdade ocorre quando \(V'(t)=-1\) em todo o intervalo, i.e., queda constante.
Para que \(V(t)=0\) no menor tempo possível, igualamos \(5-t=0\), obtendo \(t=5\). Portanto, o menor valor de \(t\) que pode satisfazer \(V(t)=0\) é t = 5.
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