Se c representa uma constante real qualquer, a integral indefinida \(\int\limits e^{(e^x+x)}dx\) é dada por

Gabarito

A

Comentário do professor

Observe que \(e^{(e^x+x)} = e^{e^x}\cdot e^x\). Assim, é natural usar a substituição \(u=e^x\), pois então \(du=e^x\,dx\).

Com essa troca, a integral fica \(\int e^{e^x}e^x\,dx=\int e^u\,du\).

A integral de \(e^u\) é imediata: \(\int e^u\,du=e^u + c\).

Voltando à variável original: \(e^u + c = e^{e^x}+c\), que é a expressão do gabarito.

Uma verificação rápida pela derivada: \(\frac{d}{dx}e^{e^x}=e^{e^x}\cdot e^x\), igual ao integrando, confirmando a resposta.