Considere, na Figura a seguir, a região R entre a curva y = ln(x) e a reta que passa pelos pontos (1,0) e (e ,1). A área de R é igual a

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A reta que passa por (1,0) e \((e,1)\) é da forma \(y=ax+b\). Resolvend o sistema \(1=ae+b\) e \(0=a+b\) obtém‑se o coeficiente angular \(a=\dfrac{1}{e-1}\) e a ordenada \(b=-\dfrac{1}{e-1}\), Logo \(y=\dfrac{x}{e-1}-\dfrac{1}{e-1}\).

A área entre \(y=\ln x\) e essa reta, no intervalo \(x\in[1,e]\), é \(A=\displaystyle\int_{1}^{e}\!\Big(\ln x -\big(\dfrac{x}{e-1}-\dfrac{1}{e-1}\big)\Big)\,dx\).

Calculando: \(\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,dx=(x\ln x-x)\Big|_{1}^{e}=1\). Para a reta, \(\displaystyle\int_{1}^{e}\!\big(\dfrac{x}{e-1}-\dfrac{1}{e-1}\big)dx=\dfrac{(e-1)}{2}.\)

Portanto \(A=1-\dfrac{e-1}{2}=\dfrac{3-e}{2}\), que é a resposta correta.